# 数学试卷
一、选择题
本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为
2. 已知平面向量 \boldsymbol{a}，\boldsymbol{b} 不共线，且 2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则
- A. x=2,\ y=-3
- B. x=-2,\ y=3
- C. x=2,\ y=3
- D. x=-2,\ y=-3
3. 已知集合
A=\left\{\sin\frac{7\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{3},\ \tan\frac{5\pi}{4}\right\},\quad
B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1\right\}
则 A\cap B=
- A. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right\}
- B. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\right\}
- C. \left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\}
- D. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}
4. 曲线 y=5x+8\ln x 在点 (1,\ 5) 处的切线方程为
- A. y=3x+2
- B. y=5x
- C. y=8x-3
- D. y=13x-8
5. 已知抛物线 C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0) 和 C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0) 均经过点 (4,\ 8)，则 C_1 的焦点与 C_2 的焦点之间的距离为
- A. 12
- B. 4\sqrt{5}
- C. 6
- D. \dfrac{\sqrt{65}}{2}
6. 已知函数
f(x)=\frac{x+2}{\mathrm e^x+a}
的最大值为 1，则 a=
- A. \dfrac{1}{2}
- B. 1
- C. \dfrac{3}{2}
- D. 2
7. 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 108 座塔，依山势自下而上排成 12 行，将第 i 行中塔的座数记为 a_i\ (i=1,2,\cdots,12)，其中 a_1=1，a_2=a_3=3，a_4=a_5=5，且 a_6,a_7,\cdots,a_{12} 是一个首项为 7、公差为 2 的等差数列。将 a_1,a_2,\cdots,a_{12} 分为 6 组，每组两个数，使得每组的两个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 d\ (d>0) 的等差数列，则 d=
8. 设
U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\ i=1,2,3\}
为空间中 64 个点构成的集合，点 P(1,1,1)。记样本空间
\Omega=\complement_U\{P\}
从 \Omega 中随机选取一个点，定义随机变量 X 如下：对于 \Omega 中的每个点 A(x_1,x_2,x_3)，令
X(A)=x_1+x_2+x_3
则 X 的数学期望为
- A. -\dfrac{1}{21}
- B. -\dfrac{1}{63}
- C. 0
- D. \dfrac{1}{7}
二、多选题
本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 设 z=3+2\mathrm i，则
- A. \overline z=3-2\mathrm i
- B. |z|=5
- C. z^2=5+12\mathrm i
- D. \dfrac{z+3}{z-\mathrm i}\in\mathbb R
10. 在空间中，A，B 为两个定点，动点 C 到直线 AB 的距离为 2，动点 D 到直线 AB 的距离为 1。若二面角 C\text{-}AB\text{-}D 为 60^\circ，则
- A. \angle CAD\ge 60^\circ
- B. CD\ge\sqrt 3
- C. 当 AB\perp CD 时，CD\perp 平面 ABD
- D. 当 AB\perp 平面 ACD 时，AC\perp AD
11. 已知圆
C_1:(x+1)^2+y^2=1,\quad
C_2:(x-1)^2+y^2=1,\quad
C_3:x^2+(y-\sqrt3)^2=1
直线 l:y=kx+b 与 C_1,C_2,C_3 均有两个交点。设 l 被 C_1,C_2,C_3 截得的弦长分别为 s_1,s_2,s_3，则
- A. k 可以取任意实数
- B. 满足 s_1=s_2=s_3 的直线 l 共有 3 条
- C. 满足 s_1+s_2+s_3=3 的直线 l 多于 3 条
- D. 当 b=0 时，s_1+s_2+s_3 的最大值为 \dfrac{2\sqrt{21}}{3}
三、填空题
本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 双曲线 5x^2-6y^2=1 的离心率为 \underline{\qquad}。
13. 已知 f(x)=2\sin(ax+\theta)，其中 a\in\mathbb Z,\ 0\le\theta<2\pi。若 f(x) 是偶函数，且 f(x) 在区间 \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增，则
\theta=\underline{\qquad},\qquad
f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\underline{\qquad}
14. 设实数 q 满足：存在数列 \{a_n\}，使得对于任意 n\in\mathbb N^*，均有
a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n
且 \{a_n\} 中有某些连续 9 项 a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8} 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为 \underline{\qquad}。
四、解答题
本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
在直三棱柱 ABC\text{-}A_1B_1C_1 中，\angle ACB=90^\circ，AC=BC，D，E 分别为 AB，AC_1 的中点。
（1）证明：DE\parallel 平面 BCC_1B_1；
（2）设 CC_1=2，直线 DE 与平面 ACC_1A_1 所成的角为 45^\circ，求直线 DE 到平面 BCC_1B_1 的距离。
16.（15 分）
已知在 \triangle ABC 中，AB=3，BC=2\sqrt3，\cos B=\dfrac{\sqrt3}{3}。
（1）求 \cos A；
（2）设 D，E 两点满足：D 在 BA 的延长线上，DE\parallel BC，AE\perp AC。若 DE=\sqrt6，求 CE。
17.（15 分）
设整数 N\ge2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次，当且仅当投中一次时，或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p\ (0<p<1)，各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。
（1）当 N=4，p=\dfrac13 时，求 X 的分布列；
（2）设 k，m 均为自然数。
（i）当 k\le N-1 时，求 P(X>k)；
（ii）当 k+m\le N-1 时，证明：
P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)
18.（17 分）
已知椭圆
C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)
的左焦点为 F(-1,0)，离心率为 \dfrac12。
（1）求 C 的方程；
（2）过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R。
（i）若 \triangle PQR 的面积是 \triangle PFQ 的面积的 3 倍，求 l 的方程；
（ii）求 \tan\angle PQR 的最小值。
19.（17 分）
已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbb R，且当 x<0 时，f(x)=2^x。对任意 x_0\in\mathbb R，定义集合
D(x_0)=\{d\in\mathbb R\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}
（1）若当 x\ge0 时，f(x)=1-x，求 D(-1)；
（2）若 f(x) 是奇函数，f(x_1)\le f(x_2) 且 x_1,x_2\ne0，证明：
D(x_2)\subseteq D(x_1)
（3）设 f(x) 满足：
① 若 f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x_2)\subseteq D(x_1)；
② 当 0<x<1 时，f(x)<f(0)。
（i）证明：f(0)\ge1；
（ii）证明：f(x) 在区间 (0,+\infty) 单调递增。
Hifumi Mizuhara 06-07 19:241楼
xx_yy1 06-08 00:055楼
