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截至目前的投票【AI 考试开始😆】佬们觉得哪个AI高考数学肯定能考满分？

除了第 15 题以外，没有题需要实图。第 15 题其实也不太需要实图，题目原本的语言描述就够了

^-^试卷电子版^-^

新高考一卷 @lueluelue 人工校对版（底部有代码块可以直接复制）

一、选择题

本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为

• A. 5


• B. 6


• C. 8


• D. 9

2. 已知平面向量 \boldsymbol{a}，\boldsymbol{b} 不共线，且 2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则

• A. x=2,\ y=-3


• B. x=-2,\ y=3


• C. x=2,\ y=3


• D. x=-2,\ y=-3

3. 已知集合

则 A\cap B=

• A. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right\}


• B. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\right\}


• C. \left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\}


• D. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}

4. 曲线 y=5x+8\ln x 在点 (1,\ 5) 处的切线方程为

• A. y=3x+2


• B. y=5x


• C. y=8x-3


• D. y=13x-8

5. 已知抛物线 C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0) 和 C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0) 均经过点 (4,\ 8)，则 C_1 的焦点与 C_2 的焦点之间的距离为

• A. 12


• B. 4\sqrt{5}


• C. 6


• D. \dfrac{\sqrt{65}}{2}

6. 已知函数

的最大值为 1，则 a=

• A. \dfrac{1}{2}


• B. 1


• C. \dfrac{3}{2}


• D. 2

7. 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 108 座塔，依山势自下而上排成 12 行，将第 i 行中塔的座数记为 a_i\ (i=1,2,\cdots,12)，其中 a_1=1，a_2=a_3=3，a_4=a_5=5，且 a_6,a_7,\cdots,a_{12} 是一个首项为 7、公差为 2 的等差数列。将 a_1,a_2,\cdots,a_{12} 分为 6 组，每组两个数，使得每组的两个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 d\ (d>0) 的等差数列，则 d=

• A. 2


• B. 4


• C. 6


• D. 8

8. 设

为空间中 64 个点构成的集合，点 P(1,1,1)。记样本空间

从 \Omega 中随机选取一个点，定义随机变量 X 如下：对于 \Omega 中的每个点 A(x_1,x_2,x_3)，令

则 X 的数学期望为

• A. -\dfrac{1}{21}


• B. -\dfrac{1}{63}


• C. 0


• D. \dfrac{1}{7}

二、多选题

本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9. 设 z=3+2\mathrm i，则

• A. \overline z=3-2\mathrm i


• B. |z|=5


• C. z^2=5+12\mathrm i


• D. \dfrac{z+3}{z-\mathrm i}\in\mathbb R

10. 在空间中，A，B 为两个定点，动点 C 到直线 AB 的距离为 2，动点 D 到直线 AB 的距离为 1。若二面角 C\text{-}AB\text{-}D 为 60^\circ，则

• A. \angle CAD\ge 60^\circ


• B. CD\ge\sqrt 3


• C. 当 AB\perp CD 时，CD\perp 平面 ABD


• D. 当 AB\perp 平面 ACD 时，AC\perp AD

11. 已知圆

直线 l:y=kx+b 与 C_1,C_2,C_3 均有两个交点。设 l 被 C_1,C_2,C_3 截得的弦长分别为 s_1,s_2,s_3，则

• A. k 可以取任意实数


• B. 满足 s_1=s_2=s_3 的直线 l 共有 3 条


• C. 满足 s_1+s_2+s_3=3 的直线 l 多于 3 条


• D. 当 b=0 时，s_1+s_2+s_3 的最大值为 \dfrac{2\sqrt{21}}{3}

三、填空题

本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12. 双曲线 5x^2-6y^2=1 的离心率为 \underline{\qquad}。

13. 已知 f(x)=2\sin(ax+\theta)，其中 a\in\mathbb Z,\ 0\le\theta<2\pi。若 f(x) 是偶函数，且 f(x) 在区间 \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增，则

14. 设实数 q 满足：存在数列 \{a_n\}，使得对于任意 n\in\mathbb N^*，均有

且 \{a_n\} 中有某些连续 9 项 a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8} 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为 \underline{\qquad}。

四、解答题

本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13 分）

在直三棱柱 ABC\text{-}A_1B_1C_1 中，\angle ACB=90^\circ，AC=BC，D，E 分别为 AB，AC_1 的中点。

（1）证明：DE\parallel 平面 BCC_1B_1；

（2）设 CC_1=2，直线 DE 与平面 ACC_1A_1 所成的角为 45^\circ，求直线 DE 到平面 BCC_1B_1 的距离。

16.（15 分）

已知在 \triangle ABC 中，AB=3，BC=2\sqrt3，\cos B=\dfrac{\sqrt3}{3}。

（1）求 \cos A；

（2）设 D，E 两点满足：D 在 BA 的延长线上，DE\parallel BC，AE\perp AC。若 DE=\sqrt6，求 CE。

17.（15 分）

设整数 N\ge2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次，当且仅当投中一次时，或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p\ (0<p<1)，各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当 N=4，p=\dfrac13 时，求 X 的分布列；

（2）设 k，m 均为自然数。

（i）当 k\le N-1 时，求 P(X>k)；

（ii）当 k+m\le N-1 时，证明：

18.（17 分）

已知椭圆

的左焦点为 F(-1,0)，离心率为 \dfrac12。

（1）求 C 的方程；

（2）过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R。

（i）若 \triangle PQR 的面积是 \triangle PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；

（ii）求 \tan\angle PQR 的最小值。

19.（17 分）

已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbb R，且当 x<0 时，f(x)=2^x。对任意 x_0\in\mathbb R，定义集合

（1）若当 x\ge0 时，f(x)=1-x，求 D(-1)；

（2）若 f(x) 是奇函数，f(x_1)\le f(x_2) 且 x_1,x_2\ne0，证明：

（3）设 f(x) 满足：

① 若 f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x_2)\subseteq D(x_1)；

② 当 0<x<1 时，f(x)<f(0)。

（i）证明：f(0)\ge1；

（ii）证明：f(x) 在区间 (0,+\infty) 单调递增。

# 数学试卷



## 一、选择题



本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。



**1.** 样本数据 \(6\)，\(8\)，\(4\)，\(5\)，\(12\) 的中位数为



- A. \(5\)

- B. \(6\)

- C. \(8\)

- D. \(9\)



**2.** 已知平面向量 \(\boldsymbol{a}\)，\(\boldsymbol{b}\) 不共线，且 \(2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\)，则



- A. \(x=2,\ y=-3\)

- B. \(x=-2,\ y=3\)

- C. \(x=2,\ y=3\)

- D. \(x=-2,\ y=-3\)



**3.** 已知集合



\[

A=\left\{\sin\frac{7\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{3},\ \tan\frac{5\pi}{4}\right\},\quad

B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1\right\}

\]



则 \(A\cap B=\)



- A. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right\}\)

- B. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\right\}\)

- C. \(\left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)

- D. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)



**4.** 曲线 \(y=5x+8\ln x\) 在点 \((1,\ 5)\) 处的切线方程为



- A. \(y=3x+2\)

- B. \(y=5x\)

- C. \(y=8x-3\)

- D. \(y=13x-8\)



**5.** 已知抛物线 \(C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0)\) 和 \(C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0)\) 均经过点 \((4,\ 8)\)，则 \(C_1\) 的焦点与 \(C_2\) 的焦点之间的距离为



- A. \(12\)

- B. \(4\sqrt{5}\)

- C. \(6\)

- D. \(\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)



**6.** 已知函数



\[

f(x)=\frac{x+2}{\mathrm e^x+a}

\]



的最大值为 \(1\)，则 \(a=\)



- A. \(\dfrac{1}{2}\)

- B. \(1\)

- C. \(\dfrac{3}{2}\)

- D. \(2\)



**7.** 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 \(108\) 座塔，依山势自下而上排成 \(12\) 行，将第 \(i\) 行中塔的座数记为 \(a_i\ (i=1,2,\cdots,12)\)，其中 \(a_1=1\)，\(a_2=a_3=3\)，\(a_4=a_5=5\)，且 \(a_6,a_7,\cdots,a_{12}\) 是一个首项为 \(7\)、公差为 \(2\) 的等差数列。将 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 分为 \(6\) 组，每组两个数，使得每组的两个数之和可构成一个项数为 \(6\) 且公差为 \(d\ (d>0)\) 的等差数列，则 \(d=\)



- A. \(2\)

- B. \(4\)

- C. \(6\)

- D. \(8\)



**8.** 设



\[

U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\ i=1,2,3\}

\]



为空间中 \(64\) 个点构成的集合，点 \(P(1,1,1)\)。记样本空间



\[

\Omega=\complement_U\{P\}

\]



从 \(\Omega\) 中随机选取一个点，定义随机变量 \(X\) 如下：对于 \(\Omega\) 中的每个点 \(A(x_1,x_2,x_3)\)，令



\[

X(A)=x_1+x_2+x_3

\]



则 \(X\) 的数学期望为



- A. \(-\dfrac{1}{21}\)

- B. \(-\dfrac{1}{63}\)

- C. \(0\)

- D. \(\dfrac{1}{7}\)



---



## 二、多选题



本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。



**9.** 设 \(z=3+2\mathrm i\)，则



- A. \(\overline z=3-2\mathrm i\)

- B. \(|z|=5\)

- C. \(z^2=5+12\mathrm i\)

- D. \(\dfrac{z+3}{z-\mathrm i}\in\mathbb R\)



**10.** 在空间中，\(A\)，\(B\) 为两个定点，动点 \(C\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(2\)，动点 \(D\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(1\)。若二面角 \(C\text{-}AB\text{-}D\) 为 \(60^\circ\)，则



- A. \(\angle CAD\ge 60^\circ\)

- B. \(CD\ge\sqrt 3\)

- C. 当 \(AB\perp CD\) 时，\(CD\perp\) 平面 \(ABD\)

- D. 当 \(AB\perp\) 平面 \(ACD\) 时，\(AC\perp AD\)



**11.** 已知圆



\[

C_1:(x+1)^2+y^2=1,\quad

C_2:(x-1)^2+y^2=1,\quad

C_3:x^2+(y-\sqrt3)^2=1

\]



直线 \(l:y=kx+b\) 与 \(C_1,C_2,C_3\) 均有两个交点。设 \(l\) 被 \(C_1,C_2,C_3\) 截得的弦长分别为 \(s_1,s_2,s_3\)，则



- A. \(k\) 可以取任意实数

- B. 满足 \(s_1=s_2=s_3\) 的直线 \(l\) 共有 \(3\) 条

- C. 满足 \(s_1+s_2+s_3=3\) 的直线 \(l\) 多于 \(3\) 条

- D. 当 \(b=0\) 时，\(s_1+s_2+s_3\) 的最大值为 \(\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)



---



## 三、填空题



本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。



**12.** 双曲线 \(5x^2-6y^2=1\) 的离心率为 \(\underline{\qquad}\)。



**13.** 已知 \(f(x)=2\sin(ax+\theta)\)，其中 \(a\in\mathbb Z,\ 0\le\theta<2\pi\)。若 \(f(x)\) 是偶函数，且 \(f(x)\) 在区间 \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) 单调递增，则



\[

\theta=\underline{\qquad},\qquad

f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\underline{\qquad}

\]



**14.** 设实数 \(q\) 满足：存在数列 \(\{a_n\}\)，使得对于任意 \(n\in\mathbb N^*\)，均有



\[

a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n

\]



且 \(\{a_n\}\) 中有某些连续 \(9\) 项 \(a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8}\) 是公比为 \(q\) 的等比数列，则 \(q\) 的最大值为 \(\underline{\qquad}\)。



---



## 四、解答题



本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。



### 15.（13 分）



在直三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(AC=BC\)，\(D\)，\(E\) 分别为 \(AB\)，\(AC_1\) 的中点。



（1）证明：\(DE\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)；



（2）设 \(CC_1=2\)，直线 \(DE\) 与平面 \(ACC_1A_1\) 所成的角为 \(45^\circ\)，求直线 \(DE\) 到平面 \(BCC_1B_1\) 的距离。



---



### 16.（15 分）



已知在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=3\)，\(BC=2\sqrt3\)，\(\cos B=\dfrac{\sqrt3}{3}\)。



（1）求 \(\cos A\)；



（2）设 \(D\)，\(E\) 两点满足：\(D\) 在 \(BA\) 的延长线上，\(DE\parallel BC\)，\(AE\perp AC\)。若 \(DE=\sqrt6\)，求 \(CE\)。



---



### 17.（15 分）



设整数 \(N\ge2\)，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 \(N\) 次，当且仅当投中一次时，或 \(N\) 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 \(p\ (0<p<1)\)，各次投中与否相互独立。记 \(X\) 为停止练习时该同学的投篮次数。



（1）当 \(N=4\)，\(p=\dfrac13\) 时，求 \(X\) 的分布列；



（2）设 \(k\)，\(m\) 均为自然数。



（i）当 \(k\le N-1\) 时，求 \(P(X>k)\)；



（ii）当 \(k+m\le N-1\) 时，证明：



\[

P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)

\]



---



### 18.（17 分）



已知椭圆



\[

C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)

\]



的左焦点为 \(F(-1,0)\)，离心率为 \(\dfrac12\)。



（1）求 \(C\) 的方程；



（2）过 \(F\) 且斜率大于 \(0\) 的动直线 \(l\) 与 \(C\) 交于 \(P\)，\(Q\) 两点，其中 \(Q\) 在第三象限，直线 \(PO\) 与 \(C\) 的另一个交点为 \(R\)。



（i）若 \(\triangle PQR\) 的面积是 \(\triangle PFO\) 的面积的 \(3\) 倍，求 \(l\) 的方程；



（ii）求 \(\tan\angle PQR\) 的最小值。



---



### 19.（17 分）



已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\mathbb R\)，且当 \(x<0\) 时，\(f(x)=2^x\)。对任意 \(x_0\in\mathbb R\)，定义集合



\[

D(x_0)=\{d\in\mathbb R\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}

\]



（1）若当 \(x\ge0\) 时，\(f(x)=1-x\)，求 \(D(-1)\)；



（2）若 \(f(x)\) 是奇函数，\(f(x_1)\le f(x_2)\) 且 \(x_1,x_2\ne0\)，证明：



\[

D(x_2)\subseteq D(x_1)

\]



（3）设 \(f(x)\) 满足：



① 若 \(f(x_1)\le f(x_2)\)，则 \(D(x_2)\subseteq D(x_1)\)；



② 当 \(0<x<1\) 时，\(f(x)<f(0)\)。



（i）证明：\(f(0)\ge1\)；



（ii）证明：\(f(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 单调递增。